Kwalifikacje w Zawodzie - Testy zawodowe online | Egzaminy Zawodowe

KWALIFIKACJA BUD18 - CZERWIEC 2018



PYTANIE NR 18.
Jeżeli boki prostokątnej działki numer 12/1 przedstawionej na rysunku pomierzono z dokładnością m = ±1 cm, to pomiar pola powierzchni tej działki wykonano z dokładnością
Ilustracja przedstawia schematyczny rysunek działki prostokątnej oznaczonej numerem 12/1.
A.
B.
C.
D.
Wyjaśnienie poprawnej odpowiedzi:
Dokładność pola prostokąta wyznacza się z propagacji niepewności dla S=a·b: mS≈√((b·m)2+(a·m)2). Dla długości boków odczytanych z rysunku i m=±1 cm (0,01 m) otrzymuje się niepewność pola rzędu 1,00 m2.

Pełne wyjaśnienie:

Pole prostokątnej działki liczymy ze wzoru S=a·b, gdzie a i b to długości boków (w metrach). Jeżeli każdy bok został pomierzony z tą samą dokładnością m=±1 cm, to niepewność pola nie jest równa "1 cm w kwadracie", tylko wynika z tego, że pole jest iloczynem dwóch wielkości obarczonych błędem.

W rachunku błędów pośrednich (propagacji niepewności) dla funkcji S(a,b)=a·b stosuje się pochodne cząstkowe:

  • ∂S/∂a = b
  • ∂S/∂b = a

Dlatego (przy niezależnych błędach długości) dokładność pola można oszacować wzorem:

mS ≈ √((b·ma)2 + (a·mb)2)

Tu ma=mb=m, a m należy koniecznie zamienić na metry: 1 cm = 0,01 m. Po podstawieniu długości boków z rysunku (dla działki 12/1) otrzymuje się wynik około 1,00 m2, czyli błąd pola rzędu jednego metra kwadratowego.

Dlaczego pozostałe odpowiedzi są błędne?

  • 0,10 m2 – zaniża wynik; zwykle wynika z nieuwzględnienia, że składniki błędu pola rosną proporcjonalnie do długości przeciwległego boku (czynnik a lub b w pochodnej).
  • 0,01 m2 – to typowy skutek mylenia "1 cm" z "0,01 m2" oraz błędnego intuicyjnego kwadratowania jednostki bez propagacji.
  • 10,0 m2 – zawyża wynik; często pojawia się, gdy ktoś błędnie przelicza centymetry na metry (np. traktuje 1 cm jako 0,1 m) albo sumuje błędy wprost w sposób zbyt konserwatywny.

Wskazówka egzaminacyjna: zawsze wykonaj analizę jednostek (czy m jest w metrach) i pamiętaj, że dla iloczynu a·b wrażliwość na błąd a jest równa b, a na błąd b jest równa a.

Dodatkowe pytania

Dodatkowe pytania (FAQ):
Jak oblicza się dokładność pola prostokąta z błędów boków?
Stosuje się propagację niepewności dla S=a·b: mS≈√((b·ma)^2+(a·mb)^2). Najpierw przelicz ma i mb do metrów (np. 1 cm = 0,01 m), dopiero potem podstaw długości boków. Wynik mS podaje się w m2.
Dlaczego błąd 1 cm nie daje błędu pola 0,01 m²?
Pole jest iloczynem dwóch długości, więc błąd pola zależy też od tego, jak duże są boki. "0,01 m²" wynika z intuicyjnego skojarzenia 1 cm z 0,01 m, ale w polu pojawiają się czynniki a i b (pochodne). Dlatego mS rośnie wraz z rozmiarem działki.
Co oznacza m = ±1 cm w zadaniach geodezyjnych?
Zwykle oznacza przyjętą dokładność (niepewność) pomiaru długości boku, np. odczytu/dalmierza. W zadaniach szkolnych traktuje się to często jako ten sam błąd dla każdego boku. Ważne jest, by ustalić, czy m dotyczy każdej długości osobno i czy błędy uznaje się za niezależne.
Jak przeliczyć 1 cm na metry w obliczeniach dokładności?
To kluczowy krok: 1 cm = 0,01 m. W propagacji niepewności wszystkie wielkości muszą być w spójnych jednostkach (a i b w metrach, m w metrach), aby mS wyszło w m2. Pomyłka o jedno zero zmienia wynik nawet 10×.
Jakie są najczęstsze błędy przy propagacji niepewności pola działki?
Najczęstsze to: (1) nieuwzględnianie pochodnych i liczenie "na oko", (2) błędne przeliczenia cm↔m, (3) dodawanie błędów absolutnych zamiast składania w kwadraturze, (4) podstawienie pola zamiast boków do wzoru na mS. Pomaga zapis: S=a·b i ∂S/∂a=b, ∂S/∂b=a.
Czy można dodać błędy boków, aby dostać błąd pola?
Nie wprost. Dodawanie błędów boków (a następnie mnożenie) zwykle nie ma uzasadnienia metrologicznego i daje zawyżone lub losowe wyniki. Poprawnie używa się pochodnych cząstkowych i zakłada niezależność błędów: mS≈√((b·ma)^2+(a·mb)^2). To standardowa metoda w zadaniach egzaminacyjnych.
Kiedy błąd pola będzie rzędu 1 m² przy m = 1 cm?
Błąd pola rośnie wraz z rozmiarem prostokąta. Przy bokach rzędu dziesiątek–setek metrów składniki b·m oraz a·m mogą dać wypadkowo około 1 m2. Dlatego zawsze trzeba znać konkretne długości boków (np. z rysunku) i dopiero wtedy oceniać rząd wielkości mS.
Jak sprawdzić, czy wynik dokładności pola ma sens liczbowy?
Zrób kontrolę "rzędu wielkości": jeśli działka ma pole np. kilka tysięcy m2, a błędy długości są centymetrowe, to błąd pola zwykle wyjdzie w okolicach ułamka do kilku m2, a nie 0,01 m2 ani 100 m2. Dodatkowo sprawdź jednostki w każdym kroku.
Jaką metodę rachunku błędów warto zapamiętać na egzamin geodety?
Najbardziej uniwersalna jest metoda pochodnych: dla wielkości obliczanej z kilku pomiarów wyznaczasz pochodne cząstkowe i liczysz niepewność z sumy kwadratów: mF≈√(Σ(∂F/∂xi·mxi)^2). Dla prostokąta sprowadza się to do prostego wzoru z a, b i m.
Dlaczego w zadaniu potrzebny jest rysunek działki 12/1?
Rysunek jest potrzebny, aby odczytać długości boków prostokąta (a i b). Sama informacja "m=±1 cm" nie wystarcza do policzenia dokładności pola, bo mS zależy od a i b. Jeśli na egzaminie nie masz czytelnych długości, najpierw upewnij się, że można je jednoznacznie odczytać z rysunku.
info

To pytanie poprawnie rozwiązuje 68% zdających egzamin. średnie

Eksperci podkreślają: "Dokładność pola prostokąta wyznacza się z propagacji niepewności dla S=a·b: mS≈√((b·m)2+(a·m)2)."

Materiały:

  • Podręczniki i skrypty z rachunku wyrównawczego oraz rachunku błędów w geodezji (propagacja niepewności)
  • Zadania treningowe z propagacji niepewności dla pól figur (prostokąt, trapez, wielobok)
  • Notatki z przeliczeń jednostek i analizy wymiarowej (cm↔m, m↔m<sup>2</sup>)
Zobacz też:

Aktualizacja pytania: 31.03.2026



Aktualizacja pytania: 31.03.2026
📡 Brak połączenia internetowego