Niech X oznacza liczbę dni przechowywania towaru. Z treści wynika, że X ma rozkład normalny o średniej 30 i odchyleniu standardowym 5. Pytanie dotyczy przekroczenia progu 35 dni, czyli prawdopodobieństwa P(X>35).
W rozkładzie normalnym wygodnie przejść na zmienną standaryzowaną Z o rozkładzie N(0,1):
z = (x − μ) / σ
Dla x=35, μ=30, σ=5:
z = (35−30)/5 = 1
To oznacza, że 35 dni leży o jedno odchylenie standardowe powyżej średniej. Teraz:
P(X>35) = P(Z>1)
Tablice i kalkulatory statystyczne zwykle podają dystrybuantę Φ(z)=P(Z≤z). Dla z=1 mamy w przybliżeniu:
Φ(1) ≈ 0,8413
Interesuje nas jednak "ogon" po prawej stronie, więc:
P(Z>1) = 1 − Φ(1) ≈ 1 − 0,8413 = 0,1587
Po zaokrągleniu dostajemy około 16%, co odpowiada poprawnej odpowiedzi.
Dlaczego pozostałe odpowiedzi są błędne?
- "około 84%" to typowy błąd polegający na podaniu Φ(1) zamiast 1−Φ(1). 84% oznaczałoby P(X≤35), a nie P(X>35).
- "około 50%" byłoby prawdą tylko wtedy, gdy próg wynosiłby dokładnie 30 dni (średnia). Ponieważ 35>30, prawdopodobieństwo przekroczenia musi być wyraźnie mniejsze niż 50%.
- "około 34%" nie pasuje do z=1; może wynikać z pomylenia wartości dla innego z lub błędnego odczytu tablic. Dla jednego odchylenia standardowego prawy ogon jest znany jako ok. 16%.
Wskazówka egzaminacyjna: zawsze sprawdź, czy pytanie dotyczy "więcej niż" (ogon prawy) czy "mniej niż" (dystrybuanta). To najczęstsze źródło pomyłek.
