W zamkniętym ciągu poligonowym (czyli wielokącie o n wierzchołkach) suma kątów wewnętrznych wynika z czystej geometrii wielokąta. Najprostsze uzasadnienie polega na triangulacji: każdy n-kąt można podzielić przekątnymi poprowadzonymi z jednego wierzchołka na (n−2) trójkąty.
W geodezji często stosuje się miarę gradową (g, gon), w której pełny kąt ma 400g, a półpełny 200g. Z tego wynika, że suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 200g. Skoro wielokąt składa się z (n−2) trójkątów, to suma jego kątów wewnętrznych jest równa:
[β]t = (n − 2) · 200g
Dlatego odpowiedź "[β]t = (n − 2) · 200g" jest poprawna.
Pozostałe propozycje są typowymi "pułapkami" z rachunku kierunków i azymutów:
- Wzory z Ap i Ak (np. "[β]t = Ak – Ap + n · 200g" oraz "[β]t = Ap – Ak + n · 200g") odnoszą się do zależności wykorzystujących azymuty/kierunki początkowy i końcowy oraz obroty wzdłuż ciągu. Nie są to uniwersalne wzory na sumę kątów wewnętrznych wynikającą wyłącznie z liczby boków.
- Wariant "[β]t = (n + 2) · 200g" ma błędny wyraz wolny: dodanie "+2" powoduje zawyżenie sumy o stałą 400g, co nie odpowiada geometrii wielokąta.
Wskazówka egzaminacyjna: jeśli pytanie dotyczy wyłącznie "sumy kątów wewnętrznych" i pojawia się tylko n oraz 200g, właściwy jest wzór wielokąta (n−2)·200g. Gdy w odpowiedziach występują jeszcze Ap, Ak (azymuty), to najczęściej są to zależności z rachunku kierunków, a nie czysta geometria n-kąta.
