Kwalifikacje w Zawodzie - Testy zawodowe online | Egzaminy Zawodowe

KWALIFIKACJA BUD18 - TEST WIEDZY NR 2



PYTANIE NR 29.
Rozważ punkty A(2,1) i B(5,4). Oblicz długość boku AB.
A.
B.
C.
D.
Wyjaśnienie poprawnej odpowiedzi:
Odległość między punktami na płaszczyźnie liczysz ze wzoru d = √((Δx)2+(Δy)2).
Dla A(2,1), B(5,4): Δx=5−2=3, Δy=4−1=3, więc d=√(32+32)=√18≈4,24 m. Pozostałe wyniki wynikają z błędnego różnicowania lub zaokrąglania.

Pełne wyjaśnienie:

Odległość odcinka AB w układzie współrzędnych (na płaszczyźnie) wyznacza się z geometrii analitycznej. Najpierw liczy się różnice współrzędnych (czyli "przyrosty"):

Δx = xB − xA oraz Δy = yB − yA.

Dla punktów A(2,1) i B(5,4) mamy:

  • Δx = 5 − 2 = 3
  • Δy = 4 − 1 = 3

Odcinek AB jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości |Δx| i |Δy|, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa w postaci wzoru na odległość euklidesową:

AB = √(Δx2 + Δy2)

Podstawienie:

  • AB = √(32 + 32) = √(9 + 9) = √18
  • √18 ≈ 4,2426…, po zaokrągleniu do 0,01 m otrzymujemy 4,24 m

Dlaczego pozostałe odpowiedzi są błędne?

  • 3,16 m odpowiada √10 i zwykle pojawia się po błędnym podstawieniu różnic (np. pomyleniu jednej z różnic z 1 lub 2) albo po niepoprawnym obliczeniu kwadratów.
  • 5,00 m jest typowym wynikiem "na oko" lub skutkiem pomylenia odcinka z inną konfiguracją (np. trójkąt 3-4-5), ale tutaj oba przyrosty wynoszą 3, więc nie może wyjść 5.
  • 6,40 m może wynikać z błędu polegającego na dodaniu wartości bez pierwiastkowania albo zbyt dużego przeszacowania; odległość nie może być większa niż suma |Δx|+|Δy| = 6, więc 6,40 jest nielogiczne już na etapie kontroli.

Wskazówka egzaminacyjna: zawsze zrób szybki "test rozsądku": wynik musi być ≥ max(|Δx|,|Δy|) i ≤ |Δx|+|Δy|. Tu: 3 ≤ AB ≤ 6, co pasuje do 4,24 m.

Dodatkowe pytania

Dodatkowe pytania (FAQ):
Jak obliczyć odległość między dwoma punktami w układzie współrzędnych?
Oblicz różnice współrzędnych: Δx = xB − xA i Δy = yB − yA, a następnie zastosuj wzór d = √(Δx² + Δy²). To bezpośrednie użycie twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta utworzonego przez przyrosty w osiach.
Dlaczego w zadaniu z punktami A i B używa się twierdzenia Pitagorasa?
Bo różnice Δx i Δy tworzą przyprostokątne trójkąta prostokątnego w układzie współrzędnych, a odcinek AB jest przeciwprostokątną. Twierdzenie Pitagorasa pozwala policzyć długość przeciwprostokątnej z długości przyprostokątnych.
Co oznaczają wartości Δx i Δy w obliczeniach długości AB?
Δx i Δy to przyrosty współrzędnych między punktami, czyli "ile" trzeba przesunąć się w osi X i w osi Y, aby przejść z A do B. Liczy się je odejmowaniem współrzędnych punktów, a potem podnosi do kwadratu we wzorze na odległość.
Jak sprawdzić, czy wynik odległości AB jest logiczny bez dokładnych obliczeń?
Zrób kontrolę granic: odległość jest zawsze co najmniej równa większej z wartości |Δx| i |Δy| oraz nie większa niż |Δx|+|Δy|. Jeśli wynik wychodzi poza ten przedział, to znaczy, że gdzieś jest błąd rachunkowy.
Czy znak minus w różnicach współrzędnych ma znaczenie w obliczaniu długości?
Nie wprost, bo we wzorze występują kwadraty: Δx² i Δy². Dlatego możesz policzyć Δx jako xB − xA lub xA − xB, ale po podniesieniu do kwadratu wyjdzie to samo. Ważne, aby nie pomylić osi i nie zgubić wartości.
Jakie błędy najczęściej popełnia się przy liczeniu długości odcinka z punktów?
Najczęstsze to: pomylenie współrzędnych (x z y), błędne odejmowanie (np. 5−2 liczone jako 2−5 bez zrozumienia), brak podniesienia różnic do kwadratu, a także zapomnienie o pierwiastku na końcu. Częsty jest też zbyt wczesny błąd zaokrąglania.
Kiedy w geodezji przydaje się obliczanie odległości z współrzędnych?
Przy obliczeniach kameralnych i kontrolnych: sprawdzeniu długości boków w osnowie/poligonie, porównaniu wyników pomiaru terenowego z obliczeniami, wyznaczaniu odległości między punktami projektu w tyczeniu oraz przy analizie spójności danych w opracowaniu pomiarów.
Jak zaokrąglać wynik odległości, żeby nie stracić dokładności?
Najlepiej nie zaokrąglać wartości pośrednich (Δx, Δy i ich kwadratów), tylko dopiero wynik końcowy √(Δx²+Δy²). Jeśli musisz, zachowaj więcej miejsc po przecinku w trakcie obliczeń, a na końcu zaokrąglij do wymaganej dokładności, np. 0,01 m.
Czy w takim zadaniu jednostka "m" jest zawsze poprawna?
Jednostka wyniku zależy od jednostki współrzędnych. W zadaniach szkolnych często przyjmuje się metry, jeśli odpowiedzi są w metrach. W praktyce geodezyjnej współrzędne w układach państwowych podaje się w metrach, więc odległość także wyjdzie w metrach.
Jak szybko policzyć √18 bez kalkulatora na egzaminie?
Możesz oszacować: √16 = 4, a √25 = 5, więc √18 jest trochę większe od 4. Dokładniej: 4,2² = 17,64, 4,24² ≈ 17,98, więc √18 ≈ 4,24. Takie przybliżenie zwykle wystarcza do odpowiedzi z dokładnością do setnych.
info

To pytanie poprawnie rozwiązuje 83% zdających egzamin. średnio łatwe

Eksperci podkreślają: "Odległość między punktami na płaszczyźnie liczysz ze wzoru d = √((Δx)2+(Δy)2).Dla A(2,1), B(5,4): Δx=5−2=3, Δy=4−1=3, więc d=√(32+32)=√18≈4,24 m."

Źródła:

  • Khan Academy (PL) – "Odległość między dwoma punktami" (geometria analityczna), https://pl.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-analytic-geometry/hs-geo-distance-and-midpoints/a/distance-formula (dostęp: 2026-03-05)
  • Wikipedia (PL) – "Odległość euklidesowa", sekcja definicji i wzoru dla R2, https://pl.wikipedia.org/wiki/Odleg%C5%82o%C5%9B%C4%87_euklidesowa (dostęp: 2026-03-05)

Materiały:

  • Podręcznik do geometrii analitycznej (odległość punktów, wektory na płaszczyźnie)
  • Materiały do kwalifikacji geodezyjnych dotyczące obliczeń kameralnych
  • Zbiór zadań z obliczeń geodezyjnych (dział: obliczenia na płaszczyźnie)
Zobacz też:

Aktualizacja pytania: 31.03.2026



Aktualizacja pytania: 31.03.2026
📡 Brak połączenia internetowego